Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差大于0，且a₂，a₄是方程x²-14x+45=0的兩根，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，且b_n+S_n=1．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）c_n=a_n+b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出a₁=3，d=2，從而a_n=3+（n-1）×2=2n+1．由S_n=1-b_n，得b1=

1

2

，bn=

1

2

bn-1由此能求出b_n=(

1

2

)n．
（2）由c_n=a_n+b_n=2n+1+（

1

2

）ⁿ，利用分組求和法能求出T_n．

解答： 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的公差大于0，且a₂，a₄是方程x²-14x+45=0的兩根，
∴a₂＜a₄，解方程x²-14x+45=0，得：a₂=5，a₄=9，
∴

a1+d=5 a1+3d=9

，解得a₁=3，d=2，
∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1．
∵數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，且b_n+S_n=1，
∴S_n=1-b_n，
n=1時(shí)，b₁=1-b₁，解得b1=

1

2

，
n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=b_n-1-b_n，即bn=

1

2

bn-1，
∴{b_n}是以

1

2

為公項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，
∴b_n=(

1

2

)n．
（2）∵c_n=a_n+b_n=2n+1+（

1

2

）ⁿ，
∴T_n=2（1+2+3+…+n）+n+（

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

）
=2×

n(n+1)

2

+n+

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=n2+2n+1-

1

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分組求和法的合理運(yùn)用．