Question

如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為正方形，AE⊥平面CDE，二面角B-CD-E的余弦值為

4

5

，AE=3．
（Ⅰ）若F為DE的中點(diǎn)，求證：BE∥平面ACF；
（Ⅱ）求直線(xiàn)BE與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面所成的角,直線(xiàn)與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間角

分析：（Ⅰ）要證BE∥平面ACF，可在平面ACF內(nèi)找到一條與BE平行的直線(xiàn)，在三角形BDE中，設(shè)AC，BD交點(diǎn)為O，由三角形中位線(xiàn)定理可得OF∥BE，則結(jié)論得到證明；
（Ⅱ）找出直線(xiàn)BE與平面ABCD所成角，根據(jù)已知求出正方形ABCD的邊長(zhǎng)，通過(guò)求解直角三角形ABE得到直線(xiàn)BE與平面ABCD所成角的正弦值．

解答： 證明：（Ⅰ）連結(jié)AC，BD交于O，連OF，
∵F為DE中點(diǎn)，O為BD中點(diǎn)，
∴OF∥BE，OF?平面ACF，BE?平面ACF，
∴BE∥平面ACF．
（Ⅱ）解：∵AE⊥平面CDE，
∴AE⊥CD，
又AD⊥CD，
∴CD⊥面ADE，
∴CD⊥DE．
二面角B-CD-E的平面角為∠ADE，
在直角三角形AED中，
∵AE=3，cos∠ADE=

4

5

．
可求得正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5
過(guò)E作EH⊥AD于H，連結(jié)BH，
∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD，
∵CD⊥AD，AE∩AD=A，AD，AE?平面DAE，
∴CD⊥平面DAE，EH?平面DAE，
∴CD⊥EH，CD∩AD=D，CD，AD?平面ABCD，EH⊥平面ABCD，BH為BE在平面ABCD內(nèi)的射影，
∴∠EBH為BE與平面ABCD的所成角的平面角，
又∵CD∥AB，∴AB⊥平面DAE，
∴△ABE為直角三角形，
∴BE=

34

，且HE=

12

5

，sin∠EBH=

6 34

85

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間直線(xiàn)與平面平行的判斷，考查了直線(xiàn)與平面所成的角，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．