Question

已知函數(shù)f（x）=mx²+3（m-2）x-1在區(qū)間（-∞，3]上單調(diào)減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論①m=0②m≠0，進(jìn)一步對(duì)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸和單調(diào)區(qū)間進(jìn)行分類(lèi)討論，最后通過(guò)幾種情況的分析取集合的并集，求得相應(yīng)的結(jié)果．

解答： 解：①當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)f（x）=-6x-1
根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性得：
函數(shù)在區(qū)間（-∞，3]上單調(diào)減函數(shù)．
②當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=mx²+3（m-2）x-1的對(duì)稱(chēng)軸方程為：x=

3(2-m)

2m

，
由于函數(shù)在（-∞，3]上單調(diào)減函數(shù)，
所以：

3(2-m)

2m

≥3，
解得：0＜m≤

2

3

．
③當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)f（x）=mx²+3（m-2）x-1的對(duì)稱(chēng)軸方程為：x=

3(2-m)

2m

，
由于函數(shù)在（-∞，3]上單調(diào)減函數(shù)，
而對(duì)于開(kāi)口方向向下的拋物線(xiàn)在（-∞，3]不可能是遞減函數(shù)．
所以m∈Φ．
綜上所述：m的取值范圍為：0≤m≤

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系，分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題型．