Question

1．函數(shù)f（x）=2msinx-2cos²x+$\frac{1}{2}$m²-4m+3，m∈（-∞，2]的最小值為m²+1，求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

分析 先把函數(shù)化成關(guān)于sinx的函數(shù)，利用換元法，把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題，討論對稱軸的位置，判斷出函數(shù)的最小值的表達(dá)式求得m的值，再由單調(diào)性可得f（x）的最大值．

解答 解：f（x）=2sin²x+2msinx+$\frac{1}{2}$m²-4m+1，
令t=sinx，則-1≤t≤1，
f（t）=2t²+2mt+$\frac{1}{2}$m²-4m+1，
函數(shù)的對稱軸為t=-$\frac{m}{2}$≥-1，
若-2≤m≤2，
即-1≤-$\frac{m}{2}$≤1，f（t）_min=f（-$\frac{m}{2}$）=-4m+1=m²+1，
求得m=0或m=-4（不符合），
即有f（t）=2t²+1，
此時t=±1時，取得最大值3；
當(dāng)m＜-2時，-$\frac{m}{2}$＞1時，f（t）在[-1，1]遞減，
可得f（t）_min=f（1）=$\frac{1}{2}$m²-2m+3=1+m²，求得m=-2-2$\sqrt{2}$或-2+2$\sqrt{2}$（舍去），
可得f（t）_max=f（-1）=$\frac{1}{2}$m²-6m+3=21+16$\sqrt{2}$．
綜上可得，函數(shù)f（x）的最大值為3或21+16$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)的最值的問題．一般的方法是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值．