Question

2．已知函數(shù)f（x）=x-lnx+k，在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上任取三個數(shù)a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）為邊長的三角形，則k的取值范圍是（　�。�

• A． （-1，+∞）
• B． （-∞，-1）
• C． （-∞，e-3）
• D． （e-3，+∞）

Answer 1

分析 由條件可得2f（x）_min＞f（x）_max且f（x）_min＞0，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最值，從而得出結(jié)論．

解答 解：任取三個實數(shù)a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）為邊長的三角形，
等價于f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可轉(zhuǎn)化為2f（x）_min＞f（x）_max且f（x）_min＞0．
令$f'（x）=-\frac{1}{x}+1=\frac{x-1}{x}=0$得x=1．
當(dāng)$\frac{1}{e}＜x＜1$時，f'（x）＜0；
當(dāng)1＜x＜e時，f'（x）＞0；
則當(dāng)x=1時，f（x）_min=f（1）=1+k，$f{（x）_{max}}=max\{f（\frac{1}{e}），f（e）\}$=max{$\frac{1}{e}$+1+k，e-1+k}=e-1+k，
從而可得$\left\{\begin{array}{l}{2（1+k）＞e-1+k}\\{k+1＞0}\end{array}\right.$，解得k＞e-3，
故選：D．

點評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的恒成立問題，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和最值之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．