Question

11．在平面幾何中，三角形的面積等于其周長的一半與其內(nèi)切圓半徑之積，類比之，在立體幾何中，三棱錐的體積等于其表面積的$\frac{1}{3}$與其內(nèi)切球半徑之積（用文字表述）

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，把三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為四個三棱錐的體積，可得三棱錐的體積等于其表面積的$\frac{1}{3}$與其內(nèi)切球半徑之積．

解答 解：如圖，

設(shè)三棱錐A-BCD的內(nèi)切球球心為O，
連接OA，OB，OC，OD，
則O到三棱錐四個面的距離為球的半徑r，
∴${V}_{A-BCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}•r+\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•r+$$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•r+\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•r$
=$\frac{1}{3}（{S}_{△ABC}+{S}_{△ACD}+{S}_{△ABD}+{S}_{△BCD}）•r$．
故答案為：其表面積的$\frac{1}{3}$與其內(nèi)切球半徑之積．

點評 本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，訓(xùn)練了等積法，考查了類比推理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．