Question

10．在各項均為正數的等比數列{a_n}中，若2a₄+a₃-2a₂-a₁=8，則2a₅+a₄的最小值為（　　）

• A． 12
• B． $12\sqrt{2}$
• C． $12\sqrt{3}$
• D． $16\sqrt{3}$

Answer 1

分析 題意知a_n＞0和公比q＞0，由通項公式代入式子：2a₄+a₃-2a₂-a₁同理化簡2a₅+a₄，再把上式代入用q來表示且化簡，設$\frac{1}{q}$=x構造函數y=$\frac{1}{q}-\frac{1}{{q}^{3}}$=x-x³，再求導、求臨界點和函數單調區(qū)間，求出函數的最大值，代入2a₅+a₄化簡后式子求出最小值．

解答 解：∵各項均為正數的等比數列{a_n}中，2a₄+a₃-2a₂-a₁=8，
∴由題意知等比數列{a_n}中a_n＞0，則公比q＞0，
$2{a}_{1}{q}^{3}+{a}_{1}{q}^{2}-2{a}_{1}q-{a}_{1}=8$，
∴a₁（2q³+q²-2q-1）=8，則a₁（2q+1）（q²-1）=8，
則a₁（2q+1）=$\frac{8}{{q}^{2}-1}$，
∴2a₅+a₄=${2a}_{1}{q}^{4}+{a}_{1}{q}^{3}$=q³a₁（2q+1）=$\frac{8{q}^{3}}{{q}^{2}-1}$=$\frac{8}{\frac{1}{q}-\frac{1}{{q}^{3}}}$，
設$\frac{1}{q}$=x，則y=$\frac{1}{q}-\frac{1}{{q}^{3}}$=x-x³，
由y′=1-3x²=0，得x=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$或x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
x∈（-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）時，y′＜0；x∈（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）時，y′＞0；x∈（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）時，y′＜0．
∴y=x-x³的減區(qū)間為（-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞），增區(qū)間為（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
∴當x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，y_max=$\frac{\sqrt{3}}{3}-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，
∴2a₅+a₄的最小值為$\frac{8}{\frac{2\sqrt{3}}{9}}$=12$\sqrt{3}$．
故選：C．

點評 本題考查了等比數列的通項公式，換元法、構造函數法，以及導數與函數單調性、最值的應用，屬于數列與函數結合較難的題，考查了學生分析問題和解決問題的能力．