Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），直線l₁：y=$\frac{a}$x-b被橢圓截得的弦長為2$\sqrt{2}$，且橢圓離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，過橢圓C的右焦點且斜率為$\sqrt{3}$的直線l₂被橢圓C截的弦為AB．
（1）求橢圓的方程；
（2）弦AB的長度．

Answer 1

分析 （1）由直線l₁過橢圓的兩個頂點可得a²+b²=8，結(jié)合離心率公式及a²-b²=c²得出a，b；
（2）寫出直線l₂的方程，與橢圓方程聯(lián)立得出A，B坐標(biāo)的關(guān)系，代入弦長公式求出|AB|．

解答 解：（1）∵直線l₁經(jīng)過橢圓C的頂點（0，-b），（a，0），
∴a²+b²=（2$\sqrt{2}$）²=8，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，a²-b²=c²，
∴a²=6，b²=2．
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）橢圓的右焦點為F（2，0），
∴直線l₂的方程為：y=$\sqrt{3}$（x-2）．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消元得：5x²-18x+15=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{18}{5}$，x₁x₂=3．
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+3}$•$\sqrt{\frac{324}{25}-12}$=$\frac{4\sqrt{6}}{5}$．

點評 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長計算，屬于中檔題．