Question

14．已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，離心率為$\frac{1}{2}$，橢圓C上的點到右焦點的最大距離為3．
（1）求橢圓C的標準方程．
（2）斜率存在的直線l與橢圓C交于A，B兩點，并且滿足以AB為直徑的圓過原點，求直線在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：設橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），半焦距為c，由題意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c，a+c=3，b²=a²-c²，即可求得a和b的值，即可求得橢圓的標準方程；
（2）設直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，由△＞0 求得3+4k²＞m²，由韋達定理求得x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，由以AB為直徑的圓過原點，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，由向量數量積的坐標表示x₁•x₂+y₁•y₂=0，求得7m²=12+12k²，代入即可求得m²＞$\frac{3}{4}$，7m²=12+12k²≥12，即可求得截距y軸上截距的取值范圍．

解答 解：（1）由橢圓的焦點在x軸上，則設橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），半焦距為c．
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c，
由橢圓C上的點到右焦點的最大距離3，
∴a+c=3，解得：a=2，c=1，
由b²=a²-c²=3，
∴橢圓C的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）設直線l的方程為y=kx+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，整理得：3+4k²＞m²，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
y₁•y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁•x₂+km（x₁+x₂）+m²，
以AB為直徑的圓過原點，
∴OA⊥OB，則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0，即x₁•x₂+k²x₁•x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
則（1+k²）x₁•x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
（1+k²）•$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$-km•$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$+m²=0，化簡得：7m²=12+12k²，
將k²=$\frac{7}{12}$m²-1，代入3+4k²＞m²，3+4（$\frac{7}{12}$m²-1）＞m²，
解得：m²＞$\frac{3}{4}$，
又由7m²=12+12k²≥12，
從而m²≥$\frac{12}{7}$，m≥$\frac{2\sqrt{21}}{7}$或m≤-$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
∴實m的取值范圍（-∞，-$\frac{2\sqrt{21}}{7}$]∪[$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，+∞）．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理及向量數量積的坐標表示，考查計算能力，屬于中檔題．