Question

19．f（x）=xsinx+cosx；
（1）判斷f（x）在區(qū)間（2，3）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論（參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}≈1.4，\sqrt{6}$≈2.4）
（2）若存在$x∈（{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）$，使得f（x）＞kx²+cosx成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)的判定定理證明即可；
（2）求出$k＜\frac{sinx}{x}$． 令$h（x）=\frac{sinx}{x}$，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可．

解答 解：（1）f'（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，
∴x∈（2，3）時(shí)，f'（x）=xcosx＜0，
∴函數(shù)f（x）在（2，3）上是減函數(shù)．   …（2分）
又$f（2）=2sin2+cos2=sin2+cos2+sin2=\sqrt{2}sin（2+\frac{π}{4}）+sin2＞0$，…（4分）
∵$3sin3＜3sin\frac{11π}{12}=3sin\frac{π}{12}=3sin（\frac{π}{3}-\frac{π}{4}）=3×\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}≈0.75$，
$cos3＜cos\frac{11π}{12}=-cos\frac{π}{12}=-cos（\frac{π}{3}-\frac{π}{4}）=-\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}≈-0.95$，
∴f（3）=3sin3+cos3＜0，
由零點(diǎn)存在性定理，f（x）在區(qū)間（2，3）上只有1個(gè)零點(diǎn)．…（6分）
（2）由題意等價(jià)于xsinx+cosx＞kx²+cosx，
整理得$k＜\frac{sinx}{x}$． …（7分）
令$h（x）=\frac{sinx}{x}$，則$h'（x）=\frac{xcosx-sinx}{x^2}$，
令g（x）=xcosx-sinx，g'（x）=-xsinx＜0，
∴g（x）在$x∈（\frac{π}{4}\;，\;\;\frac{π}{2}）$上單調(diào)遞減，…（9分）
∴$g（x）＜g（\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}×（\frac{π}{4}-1）＜0$，即g（x）=xcosx-sinx＜0，
∴$h'（x）=\frac{xcosx-sinx}{x^2}＜0$，即$h（x）=\frac{sinx}{x}$在$（\frac{π}{4}\;，\;\;\frac{π}{2}）$上單調(diào)遞減，…（11分）
∴$h（x）＜\frac{{sin\frac{π}{4}}}{{\frac{π}{4}}}=\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{{\frac{π}{4}}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{π}$，
即$k＜\frac{{2\sqrt{2}}}{π}$．   …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)判定定理，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．