Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱垂直于底面，∠ACB=90°，AC=BC=

1

2

AA₁，D是棱AA₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求異面直線DC₁和BB₁所成的角；
（Ⅱ）證明：平面BDC₁⊥平面BDC．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由題設(shè)得異面直線DC₁和BB₁所成的角為∠A₁DC₁．由側(cè)棱垂直底面，可得∠DA₁C₁=90°，又AC=BC=

1

2

AA₁，D是棱AA₁的中點(diǎn)，可求∠A₁DC₁=45°．
（Ⅱ）由題設(shè)知BC⊥CC₁，BC⊥AC，CC₁∩AC=C，可得BC⊥面ACC₁A₁，可得BC⊥DC₁，由題設(shè)得DC₁⊥DC．故有DC₁⊥面BDC，可證面BDC⊥面BDC₁．

解答： 解：（Ⅰ）由題設(shè)知AA₁∥BB₁，所以異面直線DC₁和BB₁所成的角為∠A₁DC₁．
因?yàn)閭?cè)棱垂直底面，∴∠DA₁C₁=90°．
又AC=BC=

1

2

AA₁，D是棱AA₁的中點(diǎn)，∴△DA₁C₁是等腰直角三角形．∴∠A₁DC₁=45°．
所以，異面直線DC₁和BB₁所成的角為45°．…6分
（Ⅱ）由題設(shè)知BC⊥CC₁，BC⊥AC，CC₁∩AC=C，∴BC⊥面ACC₁A₁．
又∵DC₁?面ACC₁A₁，∴BC⊥DC₁．
由題設(shè)知∠A₁DC₁=∠ADC=45°，∴∠CDC₁=90°，即DC₁⊥DC．
又∵DC∩BC=C，∴DC₁⊥面BDC．∵DC₁?面BDC₁，∴面BDC⊥面BDC₁．…12分．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，屬于基本知識(shí)的考查．