Question

14．環(huán)保部門對(duì)5家造紙廠進(jìn)行排污檢查，若檢查不合格，則必須整改，整改后經(jīng)復(fù)查仍然不合格的，則關(guān)閉．設(shè)每家造紙廠檢查是否合格是相互獨(dú)立的，且每家造紙廠檢查前合格的概率是$\frac{1}{2}$，整改后檢查合格的概率是$\frac{4}{5}$，求：
（Ⅰ）恰好有兩家造紙廠必須整改的概率；
（Ⅱ）至少要關(guān)閉一家造紙廠的概率；
（Ⅲ）平均多少家造紙廠需要整改？（其中（$\frac{9}{10}$）⁵≈$\frac{59}{100}$）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由每家煤礦必須整改的概率是1-0.5，且每家煤礦是否整改是相互獨(dú)立的．代入n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率公式，即可得到答案；
（Ⅱ）要至少關(guān)閉一家煤礦的概率．則表示該煤礦第一次安檢不合格，整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格，代入分步事件概率乘法公式即可得到結(jié)論；
（Ⅲ）由題意，必須整改的煤礦數(shù)ξ服從二項(xiàng)分布B（5，0.5），我們計(jì)算出ξ的數(shù)學(xué)期望，根據(jù)數(shù)學(xué)期望易得到平均有多少家煤礦必須整改．

解答 解：（Ⅰ）每家造紙廠必須整改的概率是1-0.5，
且每家造紙廠是否整改是相互獨(dú)立的．
所以恰好有兩家造紙廠必須整改的概率是
P₁=${C}_{5}^{2}$×（1-0.5）²×0.5³=$\frac{5}{16}$=0.31．
（Ⅱ）某造紙廠被關(guān)閉，
即該造紙廠第一次安檢不合格，
整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格，
所以該造紙廠被關(guān)閉的概率是
P₂=（1-0.5）×（1-0.8）=0.1，
從而該造紙廠不被關(guān)閉的概率是0.9．
由題意，每家造紙廠是否被關(guān)閉是相互獨(dú)立的，
所以至少關(guān)閉一家造紙廠的概率是：
P₃=1-0.9⁵=0.41；
（Ⅲ）由題設(shè)，必須整改的造紙廠數(shù)ξ服從二項(xiàng)分布B（5，0.5）．
從而ξ的數(shù)學(xué)期望是Eξ=5×0.5=2.5，
即平均有2.50家造紙廠必須整改．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，要想計(jì)算一個(gè)事件的概率，首先我們要分析這個(gè)事件是分類的（分幾類）還是分步的（分幾步），然后再利用加法原理和乘法原理進(jìn)行求解．