Question

已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+(y－4)2=1的圓心為點(diǎn)M

(1)求點(diǎn)M到拋物線C1的準(zhǔn)線的距離；

(2)已知點(diǎn)P是拋物線C1上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過點(diǎn)P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點(diǎn)，若過M，P兩點(diǎn)的直線l垂直于AB，求直線l的方程

 

Answer 1

(1)

(2)見解析；

【解析】(1)由題意可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為：y=－所以圓心M（0，4）到準(zhǔn)線的距離是

(2) 設(shè)P(x0，x02)，A(x1，x12)，B(x2，x22)，

則由題意得x0≠0，x0≠±1，x1≠x2，

設(shè)過點(diǎn)P的圓C2的切線方程為y－x02=k(x－x0)，

即kx－y－kx0 +x02=0           ①

則=1( x02－1)k2+2 x0(4－x02)k+( x02－4)2－1=0，

設(shè)PA，PB的斜率為k1，k2(k1≠k2)，則k1，k2是上述方程的兩根，所以

k1+k2= ，k1·k2=

將①代入x2=y得x2 –kx+kx0－x02=0由于x0是此方程的根，點(diǎn)A或B是過點(diǎn)P作圓C2的兩條切線與拋物線C1相交的交點(diǎn)

故，x0+x1=k1，x0+x2=k2 x1=k1－x0，x2=k2－ x0

所以kAB= = x1+x2= k1+k2－2x0=－2x0

又KMP=

∵M(jìn)P⊥AB

∴kAB·KMP=[－2x0]·（）=－1，

·=－1，解

∴即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（±，），KMP==

所以直線l的方程為y=±x+4