Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，左焦點為F（-1，0），過點D（0，2）且斜率為k的直線l交橢圓于A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓的離心率以及左焦點的坐標，求出a，c，解得b，即可得到橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用判別式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\ c=1\end{array}\right.$，…（2分）
得a²=2，b²=1，…（4分）$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（5分）
（Ⅱ）設點D（0，2）且斜率為k的直線l：y=kx+2．
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=kx+2\end{array}\right.$，…（7分）
化簡，得（1+2k²）x²+8kx+6=0．…（8分）
則△=64k²-24（1+2k²）=16k²-24＞0…（10分）
$k＞\frac{{\sqrt{6}}}{2}$或$k＜-\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
所以k的取值范圍是：（-∞，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，+∞）．…（12分）

點評 本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關系的綜合應用，考查計算能力．