Question

定義在R上的函數(shù)f（x）=

lg|x-4|(x≠4) 1(x=4)

，若關(guān)于的方程f²（x）+bf（x）+c=0有5個(gè)不同的實(shí)根x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，則f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：當(dāng)x=4時(shí)，解得x₁=4，c=-b-1；當(dāng)x＞4時(shí)，解得lg（x-4）=1，x₂=14或lg（x-4）=b，x₃=4+10^b；當(dāng)x＜4時(shí)，解得lg（4-x）=1，x₄=-6或lg（2-x）=b，x₅=4-10^b．從而f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）=f（4+14+4+10^b-6+4-10^b）=f（20）=lg|20-4|=lg16．

解答： 解：當(dāng)x=4時(shí)，f（x）=1，則由f²（x）+bf（x）+c=0得1+b+c=0．
∴x₁=4，c=-b-1．
當(dāng)x＞4時(shí)，f（x）=lg（x-4），
由f²（x）+bf（x）+c=0，
得[lg（x-4）]²+blg（x-4）-b-1=0，
解得lg（x-4）=1，x₂=14或lg（x-4）=b，x₃=4+10^b．
當(dāng)x＜4時(shí)，f（x）=lg（4-x），
由f²（x）+bf（x）+c=0，得[lg（4-x）]²+blg（4-x）-b-1=0），
解得lg（4-x）=1，x₄=-6或lg（2-x）=b，x₅=4-10^b．
∴f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）=f（4+14+4+10^b-6+4-10^b）=f（20）=lg|20-4|=lg16．
故答案是：lg16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想的合理運(yùn)用．