Question

定義域是R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=2f（x），當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，f（x）=

x2-x，x∈(0，1] -log2x，x∈(1，2]

，若x∈（-4，-2]時(shí)，f（x）≤

t

4

-

1

2t

有解，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　　）

• A、[-2，0）∪（0，1）
• B、[-2，0）∪[1，+∞）
• C、[-2，1]
• D、（-∞，-2]∪（0，1]

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x+2）=2f（x）及當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，f（x）=

x2-x，x∈(0，1] -log2x，x∈(1，2]

可化簡(jiǎn)得當(dāng)x∈（-4，-2]時(shí)，f（x）=

1

2

f（x+2）=

1

4

f（x+4）=

1 4 (x2+7x+12)，-4＜x≤-3 - 1 4 log2(4+x)，-3＜x≤-2

；從而求得-

1

4

≤

t

4

-

1

2t

，從而解得．

解答： 解：∵f（x+2）=2f（x），
又∵當(dāng)x∈（-4，-2]時(shí)，x+4∈（0，2]；
∴f（x）=

1

2

f（x+2）=

1

4

f（x+4）
=

1 4 (x2+7x+12)，-4＜x≤-3 - 1 4 log2(4+x)，-3＜x≤-2

；
由分段函數(shù)可求得，
f（x）≥-

1

4

；
故-

1

4

≤

t

4

-

1

2t

，
解得，t∈[-2，0）∪[1，+∞）；
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．