Question

已知橢圓C：

x2

a

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F，離心率為

2

2

，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為

2

，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）如圖所示，設直線l與圓x²+y²=r²（1＜r＜

2

）、橢圓C同時相切，切點分別為A，B，求|AB|的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知得

c a = 2 2 2b2 a = 2 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+m，聯(lián)立

y=kx+m x2 2 +y2=1

，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用根的判別式、韋達定理，結合已知條件能推導出當R=

2

時，|AB|取得最大值1．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F，
離心率為

2

2

，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為

2

，
∴

c a = 2 2 2b2 a = 2 a2=b2+c2

，
解得a=

2

，b=1，
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）由題意得直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=kx+m，
即kx-y+m=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵直線l與圓M相切，∴

|m|

k2+1

=R，即m²=R²（k²+1），①
聯(lián)立

y=kx+m x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
由直線l與橢圓G相切，得△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0，
即m²=2k²+1，②
由①②得k²=

R2-1

2-R2

，m²=

3R2

2-R2

，
設點B（x₀，y₀），則x02=

4m2-4

1+4k2

=

16R2-16

3R2

，
y02=1-

x02

4

=

4-R2

3R2

∴|OB|²=x02+y02=

15R2-12

3R2

=5-

4

R2

，
∴|AB|²=|OB|²-|OA|²=5-

4

R2

-R2
=5-（R²+

4

R2

）≤5-2

R2• 4 R2

=1，
當且僅當R2=

4

R2

，即R=

2

時取“=”號，
∴當R=

2

時，|AB|取得最大值1．

點評：本題考橢圓C的方程的法語法，考查|AB|的最大值的求法，是中檔值．