Question

如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4．E是PD的中點(diǎn)，
（1）求二面角E-AC-D的余弦值；
（2）求CD與平面ACE所成角的正弦值；
（3）求V_D-ACE．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間角

分析：（1）連接AC、EC，取AD中點(diǎn)O，連接EO，說明∠EFO就是二面角E-AC-D所成平面角，解三角形EFO求二面角E-AC-D的余弦值；
（2）延長(zhǎng)AE，過D作DG垂直AE于G，連接CG，說明∠DCH是直線與平面所成的角，解三角形DCG，求直線CD與平面AEC所成角的正弦值．
（3）根據(jù)三棱錐的體積公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）連接AC、EC，取AD中點(diǎn)O，連接EO，則EO∥PA，
∵PA⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD．
過O作OF⊥AC交AC于F，連接EF，
則∠EFO就是二面角E-AC-D所成平面角．
由PA=2，則EO=1．
在Rt△ADC中，AD×CD=AC×h解得h=

4 5

5

．
因?yàn)镺是AD的中點(diǎn)，所以O(shè)F=

2 5

5

．
而EO=1，由勾股定理可得EO=

3 5

5

．
則cos∠EFO=

OF

EF

=

2 5 5

3 5 5

=

2

3

（2）延長(zhǎng)AE，過D作DG垂直AE于G，連接CG，
又∵CD⊥AE，∴AE⊥平面CDG，
過D作DH垂直CG于H，則AE⊥DH，
∴DH⊥平面AGC，即DH⊥平面AEC，
∴CD在平面ACE內(nèi)的射影是CH，∠DCH是直線與平面所成的角．
∵DG=AD•sin∠DAG=AD•sin∠OAE=AD．

OE

AE

=4×

1

5

=

4 5

5

，CD=2
∴CG=

16×5 25 +4

=

6 5

5

．
∴sin∠DCG=

DG

CG

=

4 5 5

6 5 5

=

2

3

．
（3）V_D-ACE=

1

3

×OE•S△ACD=

1

3

×

3 5

5

×

1

2

×2×4=

4 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱錐的體積的計(jì)算，異面直線及其所成的角，直線與平面所成的角，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．