Question

已知拋物線的方程為，直線的方程為，點關于直線的對稱點在拋物線上．

（1）求拋物線的方程；

（2）已知，點是拋物線的焦點，是拋物線上的動點，求的最小值及此時點的坐標；

（3）設點、是拋物線上的動點，點是拋物線與軸正半軸交點，是以為直角頂點的直角三角形．試探究直線是否經過定點？若經過，求出定點的坐標；若不經過，請說明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）求出點關于直線的對稱點的坐標，然后將對稱點的坐標代入拋物線的方程求出的值，從而確定拋物線的方程；（2）結合圖象與拋物線的定義確定點、、三點共線求出的最小值，并確定的直線方程，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立求出點的坐標；（3）上點，，利用得到得到與之間的關系，從而確定直線的方程，結合與之間的關系，從而確定直線所過的定點.

（1）設點關于直線的對稱點為坐標為，

則解得，

把點代入，解得，

所以拋物線的方程為；

（2）是拋物線的焦點，拋物線的頂點為，

拋物線的準線為，

過點作準線的垂線，垂足為，由拋物線的定義知,

，當且僅當、、三點共線時“”成立，

即當點為過點所作的拋物線準線的垂線與拋物線的交點時，取最小值，

，這時點的坐標為；

（3）所在的直線經過定點，該定點坐標為，

令，可得點的坐標為，

設,，顯然，

則，，，

，，即，

直線的方程為，

即，

所以直線經過定點.

考點：1.拋物線的定義與方程；2.直線與拋物線的位置關系