精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

如圖1，在直角梯形中，，，，. 把沿對角線折起到的位置,如圖2所示,使得點在平面上的正投影恰好落在線段上，連接,點分別為線段的中點．

(1)求證：平面平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)在棱上是否存在一點,使得到點四點的距離相等？請說明理由.

（1）證明過程詳見解析；（2）正弦值為；（3）存在，點E即為所求.

解析試題分析：本題以三棱錐為幾何背景考查面面平行和二面角的求法，可以運用傳統(tǒng)幾何法，也可以用空間向量法求解，突出考查空間想象能力和計算能力.第一問，首先由點的正投影在上得平面，利用線面垂直的性質，得，在原直角梯形中，利用已知的邊和角，得到，，所以得到為等邊三角形，從而知是的中點，所以可得，，
利用面面平行的判定得出證明；第二問，先建立空間直角坐標系，寫出所需點的坐標，先設出平面的法向量，利用求出，利用夾角公式求直線和法向量所在直線的夾角；第三問，由已知和前2問過程中得到的數據，可以看出，所以點即為所求.
試題解析：（I）因為點在平面上的正投影恰好落在線段上，
所以平面，所以，                  1分
因為在直角梯形中，，，，，
所以，，所以是等邊三角形，
所以是中點，                     2分
所以，                      3分
同理可證，
又，
所以平面平面.                          5分
（II）在平面內過作的垂線 如圖建立空間直角坐標系，則，，，      6分
因為，，

設平面的法向量為，
因為，，
所以有，即，
令則 所以 ，                8分
，                   10分
所以直線

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，正三棱柱ABC-A'B'C'中，D是BC的中點，AA'=AB=2.

(1)求證：A'C//平面AB'D；
(2)求二面角D一AB'一B的余弦值。

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，側棱AA1⊥面ABC，D、E分別是棱A1B1、AA1的中點，點F在棱AB上，且

（I）求證：EF∥平面BDC1；
（II）求二面角E－BC1－D的余弦值

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱柱中，已知平面，且．

(1)求證：;
(2)在棱BC上取一點E，使得∥平面，求的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AD∥BC，∠BCD=900，PA=PB，PC=PD.

(I) 試判斷直線CD與平面PAD是否垂直，并簡述理由；
（II）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（III）如果CD=AD+BC，二面角P-CB-A等于600，求二面角P-CD-A的大小.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,,、分別為、的中點.

(1)求二面角的余弦值;
(2)求點到平面的距離.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖：四邊形是梯形，,,三角形是等邊三角形，且平面 平面，,，

（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖,直三棱柱中，，點分別為和的中點.

(Ⅰ)證明:∥平面；
(Ⅱ)求異面直線與所成角的大小.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖,三棱柱ABC－A1B1C1中,側棱A1A⊥底面ABC,且各棱長均相等.D,E,F分別為棱AB,BC,A1C1的中點.

(Ⅰ)證明EF//平面A1CD;
(Ⅱ)證明平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅲ)求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案