Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB=2，點M是SD的中點，AN⊥SC，且交SC于點N．
（Ⅰ）求證：SB∥平面ACM；
（Ⅱ）求證：直線SC⊥平面AMN；
（Ⅲ）求直線CM與平面AMN所成角的余弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連結(jié)BD交AC于E，連結(jié)ME，由已知得ME∥SB，由此能證明SB∥平面ACM．
（Ⅱ）由條件有DC⊥SA，DC⊥DA，從而AM⊥DC，又AM⊥SD．從而AM⊥平面SDC，由此能證明SC⊥平面AMN．
（Ⅲ）由已知推導(dǎo)出∠CMN為所求的直線CM與面AMN所成的角，由此能求出直線CM與平面AMN所成角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)BD交AC于E，連結(jié)ME．
∵ABCD是正方形，∴E是BD的中點．
∵M是SD的中點，∴ME是△DSB的中位線．
∴ME∥SB．
又∵ME?平面ACM，SB?平面ACM，
∴SB∥平面ACM．

（Ⅱ）證明：由條件有DC⊥SA，DC⊥DA，
∴DC⊥平面SAD，∴AM⊥DC．
又∵SA=AD，M是SD的中點，∴AM⊥SD．
∴AM⊥平面SDC．∴SC⊥AM．
由已知SC⊥AN，∴SC⊥平面AMN．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知CN⊥面AMN，則直線CM在面AMN內(nèi)的射影為NM，
∴∠CMN為所求的直線CM與面AMN所成的角．    
又SA=AB=2，∴在Rt△CDM中CD=2，MD=

2

∴CM=

6

又SC=

SA2+AC2

=2

3

由△SNM∽△SDC可得

MN

CD

=

SM

SC

∴MN=

6

3

．∴cos∠CMN=

MN

CM

=

1

3

∴直線CM與平面AMN所成角的余弦值為

1

3

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的余弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．