Question

【題目】已知圓的圓心為，直線l過點(diǎn)且與x軸不重合，l交圓于C，D兩點(diǎn)，過作的平行線，交于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)E的軌跡為.

（1）求的方程；

（2）直線與相切于點(diǎn)M，與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為A與B，直線經(jīng)過點(diǎn)M且與垂直，與的另一個(gè)交點(diǎn)為N，當(dāng)取得最小值時(shí)，求的面積.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）根據(jù)三角形相似得到，得到AE+DE＝4，再利用橢圓定義求解即可

（2）設(shè)的方程為，與橢圓聯(lián)立，由直線與相切得，由在x軸、y軸上的截距分別為，m，得表達(dá)式，結(jié)合基本不等式求得坐標(biāo)及，進(jìn)而得，則面積可求

（1）因?yàn)?/span>，所以.

又，所以，則，

所以，從而.

化為，

所以，

從而E的軌跡為以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓（剔除左、右頂點(diǎn)）.

所以的方程為.

（2）易知的斜率存在，所以可設(shè)的方程為，

聯(lián)立消去y，得.

因?yàn)橹本�l與相切,所以，

即.

在x軸、y軸上的截距分別為，m，

則

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，

根據(jù)對(duì)稱性.不妨取，，此時(shí)，

即，從而.

聯(lián)立消去y，得，

則，解得，

所以，故的面積為.