Question

設(shè)（2x+

1

x

）ⁿ（n∈N₊）的展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為A，展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為B，若

A

B

=

729

64

，則展開式中x³的系數(shù)為（　�。�

• A、160
• B、240
• C、320
• D、480

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題,二項(xiàng)式定理

分析：由條件令x=1可得各項(xiàng)系數(shù)的和為A=3ⁿ，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為B=2ⁿ，再根據(jù)

A

B

=

729

64

，求得n的值，利用（2x+

1

x

）⁶的通項(xiàng)，確定展開式中x³的系數(shù)．

解答： 解：在（2x+

1

x

）ⁿ的展開式中，令x=1可得各項(xiàng)系數(shù)的和為A=3ⁿ，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為B=2ⁿ，
由

A

B

=

729

64

，求得

3n

2n

=

729

64

，可得n=6，
所以（2x+

1

x

）⁶的通項(xiàng)為T_r+1=C₆^r（2x）^6-r（

1

x

）^r=C₆^r2^6-rx6-

3

2

r
令6-

3

2

r=3，可得r=2
∴展開式中x³的系數(shù)為C₆²2^6-2=240
故選：B．

點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，是給變量賦值的問題，關(guān)鍵是根據(jù)要求的結(jié)果，選擇合適的數(shù)值代入，屬于基礎(chǔ)題．二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題的工具．