Question

已知函數(shù)（）．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）函數(shù)在定義域內(nèi)是否存在零點(diǎn)？若存在，請(qǐng)指出有幾個(gè)零點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）若對(duì)任意恒成立，求a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)；（3）

a的取值范圍是．

【解析】

試題分析：（1）首先求導(dǎo)：，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定其單調(diào)性．時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，函數(shù)單調(diào)減；（2）首先分離參數(shù).由，得.令（），下面就利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，然后結(jié)合圖象便可得知的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）要使得對(duì)任意恒成立，只需的最小值大于零即可. 由，則．當(dāng)時(shí)，對(duì)，有，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，即對(duì)恒成立．當(dāng)時(shí)，由（1），單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，若對(duì)任意恒成立，只需，顯然不可能直接解這個(gè)不等式，下面利用導(dǎo)數(shù)來研究，看在什么條件下這個(gè)不等式能成立.令（），，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，故在上恒成立，也就是說當(dāng)時(shí)，滿足的a不存在．所以a的取值范圍是．

（1）由，則．

由，得；由，得，

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為． 4分

（2）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111507033427996289/SYS201411150703394833468032_DA/SYS201411150703394833468032_DA.049.png">，由，得（）， 5分

令（），則，

由于，，可知當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，，

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故． 6分

又由（1）知當(dāng)時(shí)，對(duì)，有，即， .7分

（隨著的增長(zhǎng)，的增長(zhǎng)速度越越快，會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于的增長(zhǎng)速度，而的增長(zhǎng)速度則會(huì)越越慢．則當(dāng)且無限接近于0時(shí)，趨向于正無窮大.）

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)． 9分

（3）由，則．

①當(dāng)時(shí)，對(duì)，有，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，即對(duì)恒成立． 10分

②當(dāng)時(shí)，由（1），單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

若對(duì)任意恒成立，只需， 11分

令（），，

即在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，故在上恒成立， 13分

故當(dāng)時(shí)，滿足的a不存在．

綜上所述，a的取值范圍是． 14分

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用；2、函數(shù)的零點(diǎn)；3、導(dǎo)數(shù)與不等式.