Question

10．已知拋物線(xiàn)Г：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)為x=-1，傾斜角為銳角的直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)F且交拋物線(xiàn)于A（x，₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)（其中y₁＜0，y₂＞0），與y軸交于C點(diǎn)．
（Ⅰ）M是拋物線(xiàn)Г在第一象限上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)$\frac{|MO|}{|MF|}$取得最大值時(shí)，試確定點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（Ⅱ）證明：點(diǎn)（$\frac{|CA|}{|AF|}$，$\frac{|CB|}{|BF|}$）在直線(xiàn)x-y+1=0上．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)M到準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于d，由拋物線(xiàn)的定義可得$\frac{|MO|}{|MF|}$=$\frac{|MO|}fgzsa9r$=$\frac{\sqrt{{m}^{2}+4m}}{m+1}$=$\sqrt{1+\frac{2m-1}{{m}^{2}+2m+1}}$，令2m-1=t，利用基本不等式求得最大值，從而確定點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（Ⅱ）證明：點(diǎn)（$\frac{|CA|}{|AF|}$，$\frac{|CB|}{|BF|}$）在直線(xiàn)x-y+1=0上，即證明（$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$，$\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}-1}$）在直線(xiàn)x-y+1=0上．

解答 （Ⅰ）解：準(zhǔn)線(xiàn)為x=-1，焦點(diǎn)F（1，0），拋物線(xiàn)Г：y²=4x．
設(shè)M（m，n），則n²=4m，m＞0，n＞0，設(shè)M到準(zhǔn)線(xiàn)x=-1的距離等于d，
則$\frac{|MO|}{|MF|}$=$\frac{|MO|}nnbkygu$=$\frac{\sqrt{{m}^{2}+4m}}{m+1}$=$\sqrt{1+\frac{2m-1}{{m}^{2}+2m+1}}$．
令2m-1=t，t＞-1，則m=$\frac{1}{2}$（t+1），
∴$\frac{|MO|}{|MF|}$=$\sqrt{1+\frac{4}{t+\frac{9}{t}+6}}$≤$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（當(dāng)且僅當(dāng)t=3時(shí)，等號(hào)成立）．
故$\frac{|MO|}{|MF|}$的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，m=2，n=2$\sqrt{2}$
∴M（2，2$\sqrt{2}$）；
（Ⅱ）證明：點(diǎn)（$\frac{|CA|}{|AF|}$，$\frac{|CB|}{|BF|}$）即（$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$，$\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}-1}$），
設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x-1），代入y²=4x，可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
∴$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$-$\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}-1}$=-1
∴（$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$，$\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}-1}$）在直線(xiàn)x-y+1=0上，即點(diǎn)（$\frac{|CA|}{|AF|}$，$\frac{|CB|}{|BF|}$）在直線(xiàn)x-y+1=0上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)的定義、簡(jiǎn)單性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，體現(xiàn)了換元的思想，屬于中檔題．