Question

19．設(shè)f（x）=cosx+（π-x）sinx，x∈[0，2π]，則函數(shù)f（x）所有的零點(diǎn)之和為（　　）

• A． π
• B． 2π
• C． 3π
• D． 4π

Answer 1

分析 利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：由f（x）=cosx+（π-x）sinx=0得（x-π）sinx=cosx，
當(dāng)x=π時(shí)，方程等價(jià)為0=-1，方程不成立，
當(dāng)x=$\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{2}$時(shí)，方程等價(jià)為±$\frac{π}{2}$=0，此時(shí)方程不成立，
則方程等價(jià)為tanx=$\frac{1}{x-π}$，
作出函數(shù)y=tanx，y=$\frac{1}{x-π}$，在x∈[0，2π]上的圖象，
則兩個(gè)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
則兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)（π，0）對稱，
設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₁，x₂，
則$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=π$，即x₁+x₂=2π，
即函數(shù)f（x）所有的零點(diǎn)之和為2π，
故選：B

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．