Question

已知點(diǎn)是拋物線上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且焦點(diǎn)

到直線的距離為.

(I）求拋物線的方程；

（2）現(xiàn)給出以下三個(gè)論斷：①直線過焦點(diǎn)；②直線過原點(diǎn)；③直線平行軸．

請你以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題，并加以證明.

 

Answer 1

（1） ；（2）參考解析

【解析】

試題分析：（1）由點(diǎn)F到直線的距離為可求得拋物線中.從而得到拋物線方程.

（2）根據(jù)題意共有三種情況：i) ①直線過焦點(diǎn)；②直線過原點(diǎn).由直線AB與拋物線的方程聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理，表示出點(diǎn)D,B的坐標(biāo)即可得到③直線平行軸.ii) ①直線過焦點(diǎn);③直線平行軸同樣是表達(dá)出點(diǎn)D,B的坐標(biāo)即可得到點(diǎn)A,O,D三點(diǎn)共線，即可得到結(jié)論.iii) ②直線過原點(diǎn)；③直線平行軸表達(dá)出點(diǎn)A,B的坐標(biāo)關(guān)系即可得到點(diǎn)A,F,B三點(diǎn)共線，即得到結(jié)論.

（I）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719345803251336/SYS201411171935162519973520_DA/SYS201411171935162519973520_DA.011.png">， 依題意得, 2分

解得，所以拋物線的方程為 4分

（2）①命題：若直線過焦點(diǎn)，且直線過原點(diǎn)，則直線平行軸.

5分

設(shè)直線的方程為，， 6分

由 得，

， 8分

直線的方程為， 9分

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，

， 12分

直線平行于軸． 13分

②命題：若直線過焦點(diǎn)，且直線平行軸，則直線過原點(diǎn).

5分

設(shè)直線的方程為，， 6分

由 得，

， 8分

即點(diǎn)的坐標(biāo)為， 9分

∵直線平行軸，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為， 10分

∴，，

由于，

∴∥，即三點(diǎn)共線， 12分

∴直線過原點(diǎn)． 13分

③命題：若直線過原點(diǎn)，且直線平行軸，則直線過焦點(diǎn). 5分

設(shè)直線的方程為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為， 6分

∵直線平行軸，

∴，∴，即點(diǎn)的坐標(biāo)為， 8分

由得，

∴即點(diǎn)的坐標(biāo)為， 10分

∴，

由于，

∴∥，即三點(diǎn)共線， 12分

∴直線過焦點(diǎn)． 13分

考點(diǎn)：1.拋物線的性質(zhì).2.直線與拋物線位置關(guān)系.3.韋達(dá)定理的應(yīng)用.4.三點(diǎn)共線的判定.