已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，當時取得極值.
(I)求的單調(diào)區(qū)間和極大值
(II)證明對任意不等式恒成立.

(Ⅰ)單增區(qū)間，單減區(qū)間，極大值；(Ⅱ)見解析.

解析試題分析：(Ⅰ)根據(jù)奇函數(shù)的定義可知，由此解得，由已知條件“當時取得極值”可得以及，聯(lián)立方程組解得，寫出函數(shù)的解析式為，然后對函數(shù)求導，利用函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系判斷函數(shù)在實數(shù)集R上的單調(diào)性，并由此得到函數(shù)在處取得極大值；(Ⅱ)根據(jù)函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞減的，可知函數(shù)在區(qū)間上的極大值和極小值，從而由對任意的都有不等式成立，即得結論.
試題解析：(Ⅰ)由奇函數(shù)的定義，有，
即，∴.
因此，，
由條件為的極值，必有.
故，解得.              4分
因此， ，
，
.
當時，，故在單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)；
當時，，故在單調(diào)區(qū)間上是減函數(shù)；
當時，，故在單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù).
∴函數(shù)在處取得極大值，極大值為.            8分
(Ⅱ)由(I)知，是減函數(shù)，
且在上的最大值
在上的最小值
∴對任意恒有                12分    
考點：1.求函數(shù)的解析式；2.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；3.利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；4.解不等式；5.奇函數(shù)的性質(zhì)

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，某自來水公司要在公路兩側排水管，公路為東西方向，在路北側沿直線排水管，在路南側沿直線排水管（假設水管與公路的南，北側在一條直線上且水管的大小看作為一條直線），現(xiàn)要在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)沿直線EF將與接通．已知AB = 60m，BC = 60m，公路兩側排管費用為每米1萬元，穿過公路的EF部分的排管費用為每米2萬元，設EF與AB所成角為．矩形區(qū)域內(nèi)的排管費用為W．

（1）求W關于的函數(shù)關系式；
（2）求W的最小值及相應的角．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知x＝1是函數(shù)的一個極值點，
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)當時，證明：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設是函數(shù)的一個極值點.
（1）求與的關系式（用表示），并求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設,若存在使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，.
（1）當時，求在處的切線方程；
（2）若在內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，某小區(qū)有一邊長為2（單位：百米）的正方形地塊OABC，其中OAE是一個游泳池，計劃在地塊OABC內(nèi)修一條與池邊AE相切的直路（寬度不計），切點為M，并把該地塊分為兩部分．現(xiàn)以點O為坐標原點，以線段OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，若池邊AE滿足函數(shù)的圖象，且點M到邊OA距離為．

（1）當時，求直路所在的直線方程；
（2）當為何值時，地塊OABC在直路不含泳池那側的面積取到最大，最大值是多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
（Ⅲ）求證：（，e是自然對數(shù)的底數(shù)）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，其中，．
(Ⅰ)若的最小值為，試判斷函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由；
(Ⅱ)若函數(shù)的極小值大于零，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，某自來水公司要在公路兩側鋪設水管，公路為東西方向，在路北側沿直線鋪設線路l1，在路南側沿直線鋪設線路l2，現(xiàn)要在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)沿直線將l1與l2接通．已知AB = 60m，BC = 80m，公路兩側鋪設水管的費用為每米1萬元，穿過公路的EF部分鋪設水管的費用為每米2萬元，設∠EFB= α,矩形區(qū)域內(nèi)的鋪設水管的總費用為W．

（1）求W關于α的函數(shù)關系式；
（2）求W的最小值及相應的角α．

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