已知函數(shù)是R上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí)取得極值.
(I)求的單調(diào)區(qū)間和極大值
(II)證明對(duì)任意不等式恒成立.

(Ⅰ)單增區(qū)間,單減區(qū)間,極大值;(Ⅱ)見(jiàn)解析.

解析試題分析:(Ⅰ)根據(jù)奇函數(shù)的定義可知,由此解得,由已知條件“當(dāng)時(shí)取得極值”可得以及,聯(lián)立方程組解得,寫(xiě)出函數(shù)的解析式為,然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系判斷函數(shù)在實(shí)數(shù)集R上的單調(diào)性,并由此得到函數(shù)處取得極大值;(Ⅱ)根據(jù)函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞減的,可知函數(shù)在區(qū)間上的極大值和極小值,從而由對(duì)任意的都有不等式成立,即得結(jié)論.
試題解析:(Ⅰ)由奇函數(shù)的定義,有,
,∴.
因此,,
由條件的極值,必有.
,解得.              4分
因此, ,
,
.
當(dāng)時(shí),,故在單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù);
當(dāng)時(shí),,故在單調(diào)區(qū)間上是減函數(shù);
當(dāng)時(shí),,故在單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù).
∴函數(shù)處取得極大值,極大值為.            8分
(Ⅱ)由(I)知,是減函數(shù),
上的最大值
上的最小值
∴對(duì)任意恒有                12分    
考點(diǎn):1.求函數(shù)的解析式;2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值;4.解不等式;5.奇函數(shù)的性質(zhì)

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,某自來(lái)水公司要在公路兩側(cè)排水管,公路為東西方向,在路北側(cè)沿直線(xiàn)排水管,在路南側(cè)沿直線(xiàn)排水管(假設(shè)水管與公路的南,北側(cè)在一條直線(xiàn)上且水管的大小看作為一條直線(xiàn)),現(xiàn)要在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)沿直線(xiàn)EF將接通.已知AB = 60m,BC = 60m,公路兩側(cè)排管費(fèi)用為每米1萬(wàn)元,穿過(guò)公路的EF部分的排管費(fèi)用為每米2萬(wàn)元,設(shè)EF與AB所成角為.矩形區(qū)域內(nèi)的排管費(fèi)用為W.

(1)求W關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求W的最小值及相應(yīng)的角

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知x=1是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),證明:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

設(shè)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).
(1)求的關(guān)系式(用表示),并求的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)設(shè),若存在使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時(shí),求處的切線(xiàn)方程;
(2)若內(nèi)單調(diào)遞增,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,某小區(qū)有一邊長(zhǎng)為2(單位:百米)的正方形地塊OABC,其中OAE是一個(gè)游泳池,計(jì)劃在地塊OABC內(nèi)修一條與池邊AE相切的直路(寬度不計(jì)),切點(diǎn)為M,并把該地塊分為兩部分.現(xiàn)以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),以線(xiàn)段OC所在直線(xiàn)為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,若池邊AE滿(mǎn)足函數(shù)的圖象,且點(diǎn)M到邊OA距離為

(1)當(dāng)時(shí),求直路所在的直線(xiàn)方程;
(2)當(dāng)為何值時(shí),地塊OABC在直路不含泳池那側(cè)的面積取到最大,最大值是多少?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知函數(shù)
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(Ⅲ)求證:,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知函數(shù),其中,
(Ⅰ)若的最小值為,試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由;
(Ⅱ)若函數(shù)的極小值大于零,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,某自來(lái)水公司要在公路兩側(cè)鋪設(shè)水管,公路為東西方向,在路北側(cè)沿直線(xiàn)鋪設(shè)線(xiàn)路l1,在路南側(cè)沿直線(xiàn)鋪設(shè)線(xiàn)路l2,現(xiàn)要在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)沿直線(xiàn)將l1與l2接通.已知AB = 60m,BC = 80m,公路兩側(cè)鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每米1萬(wàn)元,穿過(guò)公路的EF部分鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每米2萬(wàn)元,設(shè)∠EFB= α,矩形區(qū)域內(nèi)的鋪設(shè)水管的總費(fèi)用為W.

(1)求W關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求W的最小值及相應(yīng)的角α.

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