Question

12．已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)F交拋物線C于A、B兩點(diǎn)．且以AB為直徑的圓M與直線y=-1相切于點(diǎn)N．
（1）求C的方程；
（2）若圓M與直線x=-$\frac{3}{2}$相切于點(diǎn)Q，求直線l的方程和圓M的方程．

Answer 1

分析 （1）利用梯形的中位線定理和拋物線的性質(zhì)列出方程解出p即可；
（2）設(shè)l斜率為k，聯(lián)立方程組解出AB的中點(diǎn)即M的坐標(biāo)，根據(jù)切線的性質(zhì)列方程解出k即可得出l的方程和圓的圓心與半徑．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AB|=y₁+y₂+p，
又∵以AB為直徑的圓M與直線y=-1相切，
∴|AB|=y₁+y₂+2，故p=2，
∴拋物線C的方程為x²=4y．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+1，代入x²=4y中，
化簡(jiǎn)整理得x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
∴${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）+2=4{k^2}+2$，
∴圓心的坐標(biāo)為M（2k，2k²+1），
∵圓M與直線$x=-\frac{3}{2}$相切于點(diǎn)Q，
∴|MQ|=|MN|，
∴$|2k+\frac{3}{2}|=|2{k^2}+2|$，解得$k=\frac{1}{2}$，
此時(shí)直線l的方程為$y=\frac{1}{2}x+1$，即x-2y+2=0，
圓心$M（1，\frac{3}{2}）$，半徑$r=\frac{5}{2}$，
∴圓M的方程為${（x-1）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}={（\frac{5}{2}）^2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，切線的性質(zhì)，屬于中檔題．