Question

4．下列結(jié)論正確的個數(shù)是（　�。�
①若$\overline a=（λ，2），\overline b=（-3，1）$，且$\overline a$與$\overline b$夾角為銳角，則$λ∈（-∞，\frac{2}{3}）$；
②點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足$\overline{OA}•\overline{OB}=\overline{OB}•\overline{OC}=\overline{OC}•\overline{OA}$，則點(diǎn)O是三角形ABC的內(nèi)心；
③若△ABC中，$\overline{AB}•\overline{BC}＜0$，則△ABC是鈍角三角形；
④若△ABC中，$\overline{AB}•\overline{BC}=\overline{BC}•\overline{CA}=\overline{CA}•\overline{AB}$，則△ABC是正三角形．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由向量的數(shù)量積大于0且不共線求得λ值判斷①；把已知向量等式變形可得點(diǎn)O是三角形ABC的垂心判斷②；由$\overline{AB}•\overline{BC}＜0$，可得∠ABC為銳角，不一定有△ABC是鈍角三角形判斷③；把已知向量等式變形，可得△ABC三邊相等判斷④．

解答 解：①若$\overline a=（λ，2），\overline b=（-3，1）$，且$\overline a$與$\overline b$夾角為銳角，
則$\left\{\begin{array}{l}{-3λ+2＞0}\\{λ+6≠0}\end{array}\right.$，解得$λ＜\frac{2}{3}$且λ≠-6．故①錯誤；
②點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足$\overline{OA}•\overline{OB}=\overline{OB}•\overline{OC}=\overline{OC}•\overline{OA}$，
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$，得$\overrightarrow{OB}•（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}）=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AC}=0$，同理，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{AB}=0$，
則點(diǎn)O是三角形ABC的垂心，故②錯誤；
③若△ABC中，$\overline{AB}•\overline{BC}＜0$，可得∠ABC為銳角，不一定有△ABC是鈍角三角形，故③錯誤；
④若△ABC中，$\overline{AB}•\overline{BC}=\overline{BC}•\overline{CA}=\overline{CA}•\overline{AB}$，
由$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}$，得$\overrightarrow{BC}•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）=0$，可得AB=AC，同理BA=BC，則△ABC是正三角形，故④正確．
∴正確結(jié)論的個數(shù)是1個．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算及其有關(guān)概念，是中檔題．