Question

5．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直線y=x+2過橢圓C的左焦點F₁．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設過點A（0，-1）的直線l與橢圓交于不同兩點M、N，當△MON的面積為$\frac{\sqrt{22}}{3}$時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）可得 F₁（-2，0），即c=2．
由離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得a=2$\sqrt{2}$，∴b²=a²-c²=4
即可求得橢圓C的標準方程．
（2）依題意知過點A（0，-1）的直線l的斜率一定存在，故設直線l的方程為y=kx-1，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立方程，利用韋達定理得 S_△MON=$\frac{1}{2}|OA|•|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\frac{\sqrt{16{k}^{2}+6}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{\sqrt{22}}{3}$即可解得k

解答 解：（1）∵直線y=x+2過橢圓C的左焦點F₁．∴F₁（-2，0），即c=2．
由離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得a=2$\sqrt{2}$，∴b²=a²-c²=4
∴橢圓C的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$
（2）依題意知過點A（0，-1）的直線l的斜率一定存在，故設直線l的方程為y=kx-1，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²-4kx-6=0
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{-6}{1+2{k}^{2}}$
S_△MON=$\frac{1}{2}|OA|•|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\frac{\sqrt{16{k}^{2}+6}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{\sqrt{22}}{3}$
解得k=±1
直線l的方程為：y=±x-1
 

點評 本題考查了橢圓的方程，直線與橢圓位置關系，屬于中檔題．