Question

14．如圖，測量河對岸的旗桿AB高時(shí)，選與旗桿底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn)C與D．測得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=a，并在點(diǎn)C測得旗桿頂A的仰角為60°，則旗桿高AB為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}a$
• B． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}a$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}a$

Answer 1

分析 在△CBD中根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=45°，從而利用正弦定理求出BC．然后在Rt△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)的定義加以計(jì)算，可得旗桿AB的高度．

解答 解：∵△BCD中，∠BCD=75°，∠BDC=60°，
∴∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=45°，
在△CBD中，CD=a，根據(jù)正弦定理可得BC=$\frac{CD•sin∠BDC}{sin∠CBD}$=$\frac{a•sin60°}{sin45°}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
∵Rt△ABC中，∠ACB=60°，
∴AB=BC•tan∠ACB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a•tan60°=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，即旗桿高為 $\frac{3\sqrt{2}}{2}$a．
故選：B

點(diǎn)評 本題給出實(shí)際應(yīng)用問題，求棋桿AB的高度．著重考查了三角形內(nèi)角和定理、利用正弦定理解三角形和三角函數(shù)的定義等知識，屬于中檔題．