Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點(diǎn)，PA=PD=AD=2．
（Ⅰ）若平面PAD⊥平面ABCD，點(diǎn)N是PC的中點(diǎn)，求二面角N-BQ-C的余弦值；
（Ⅱ）點(diǎn)M在線段PC上，PM=tPC，試確定t的值，使PA∥平面MQB．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,二面角的平面角及求法

專題：平面向量及應(yīng)用,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以QA、QB、QP所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，先求出平面NQB的法向量

n1

，取平面BQC的法向量

n2

=（0，0，1），根據(jù)向量的夾角公式即可求出二面角N-BQ-C的余弦值．
（2）當(dāng)t=

1

3

時(shí)，PA∥平面MQB，若PA∥平面MQB，連AC交BQ于N，根據(jù)線面平行得到PA∥MN，從而

PM

PC

=

AN

NC

=

1

3

，即：PM=

1

3

PC，從而求出t的值；

解答： 解：（1）由PA=PD=AD=2，Q為AD的中點(diǎn)，則PQ⊥AD…（2分）
又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，連BD，則四邊形ABCD為菱形，
∵AD=AB，∠BAD=60°△ABD為正三角形，
Q為AD中點(diǎn)，
∴AD⊥BQ，…（4分）
以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以QA、QB、QP所在的直線為x，y，z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為：
Q（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0，

3

），B（0，

3

，0），C（-2，

3

，0），N（-1，

3

2

，

3

2

），
∴

QN

=（-1，

3

2

，

3

2

），
設(shè)

n1

=（x，y，z）是平面NBQ的一個(gè)法向量，則

n1

•

QN

=0，

n1

•

QB

=0，
∴

-x+ 3 2 y+ 3 2 z=0 3 y=0

，
∴

n1

=（

3

2

，0，1），
又∵

n2

=（0，0，1）平面BQC的一個(gè)法向量，
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

2 7

7

，
∴二面角N-BQ-C的余弦值是

2 7

7

．…（7分）
（2）當(dāng)t=

1

3

時(shí)，PA∥平面MQB，
下面證明：若PA∥平面MQB，連AC交BQ于N，
由AQ∥BC可得，△ANQ∽△BNC，
∴

AQ

BC

=

AN

NC

=

1

2

，…（9分）
PA∥平面MQB，PA?平面PAC，
平面PAC∩平面MQB=MN，
∴PA∥MN，…（11分）
∴

PM

PC

=

AN

NC

=

1

3

，即：PM=

1

3

PC，
∴t=

1

3

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查線面平行，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直、線面平行的判定，考查了轉(zhuǎn)換思想，屬于中檔題．