Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，D為AC的中點(diǎn)，AC₁⊥平面A₁BD．
求證：
（1）B₁C∥平面A₁BD；
（2）B₁C₁⊥平面ABB₁A₁．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接A₁B與AB₁相交與點(diǎn)M，則M為A₁B中點(diǎn)，容易得到B₁C∥MD，利用線面平行的判定定理可證；
（2）只要證明B₁C₁垂直于平面ABB₁A₁的兩條相交直線即可．

解答： 解：（1）如圖，連接A₁B與AB₁相交與點(diǎn)M，則M為A₁B中點(diǎn)，
連接MD，又D為AC的中點(diǎn)，
∴B₁C∥MD．…（3分）
又B₁C?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD．…（7分）
（2）∵AB=B₁B，
∴四邊形ABB₁A₁為正方形，
∴A₁B⊥AB₁，…（9分）
又∵AC₁⊥平面A₁BD，
∴A₁B⊥AC₁，
∴A₁B⊥平面AB₁C₁…（12分）
∴A₁B⊥B₁C₁，
又∵B₁C₁⊥B₁B，且A₁B∩B₁B=B，
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的運(yùn)用．熟練掌握定理是關(guān)鍵．