Question

4．若對于任意的實數(shù)t，函數(shù)f（x）=（x-t）³+（x-e^t）³-3ax在R上都是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-$∞，\frac{1}{2}$]
• B． （$-∞，\frac{1}{2}$）
• C． （$-∞，\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• D． （$-∞，\frac{\sqrt{2}}{2}$）

Answer 1

分析 利用f（x）=（x-t）³+（x-e^t）³-3ax在R上都是增函數(shù)，可得f′（x）=3（x-t）²+3（x-e^t）²-3a≥0在R上恒成立，分離參數(shù)a≤（x-t）²+（x-e^t）²，再求出右邊的最小值，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=（x-t）³+（x-e^t）³-3ax在R上都是增函數(shù)，
∴f′（x）=3（x-t）²+3（x-e^t）²-3a≥0在R上恒成立，
∴a≤（x-t）²+（x-e^t）²，
（x-t）²+（x-e^t）²=2（x-$\frac{t{+e}^{t}}{2}$）²+$\frac{{（t{-e}^{t}）}^{2}}{2}$≥$\frac{{（t{-e}^{t}）}^{2}}{2}$，
令y=t-e^t，則y′=1-e^t，
∴（-∞，0）上，y′＞0，（0，+∞）上，y′＜0，
∴t=0時，y_max=-1，
∴$\frac{{（t{-e}^{t}）}^{2}}{2}$的最小值為$\frac{1}{2}$，
∴a≤$\frac{1}{2}$，
故選：A．

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確分離參數(shù)求最值是關鍵．