Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，側(cè)面PBC是等邊三角形，平面PBC⊥平面ABCD，BC=2，AB=

2

，∠ABC=45°．
（1）求異面直線BD，PC所成角的余弦值；
（2）點(diǎn)E在線段PC上，AE與平面PAB所成角的正切值等于

33

11

，求

PE

PC

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由余弦定理得AC=

2

，取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO，PO，則AO，PO，BC兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線BD，PC所成角的余弦值．
（2）設(shè)

PE

=λ

PC

，0≤λ≤1，由已知得E（0，-λ，

3

-

3

λ），由已知條件利用向量法能求出

PE

PC

的值．

解答： 解：（1）∵四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，
側(cè)面PBC是等邊三角形，平面PBC⊥平面ABCD，BC=2，AB=

2

，∠ABC=45°，
∴AC=

4+2-2×2× 2 ×cos45°

=

2

，
取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO，PO，則AO，PO，BC兩兩垂直，
以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
B（0，1，0），D（1，-2，0），

BD

=（1，-3，0），
P（0，0，

3

），C（0，-1，0），

PC

=（0，-1，-

3

），
設(shè)異面直線BD，PC所成角為θ，
cosθ=|cos＜

BD

，

PC

＞|=|

3

10 ×2

|=

3 10

20

，
∴異面直線BD，PC所成角的余弦值為

3 10

20

．
（2）設(shè)

PE

=λ

PC

，0≤λ≤1，E（0，b，c），
(0，b，c-

3

)=(0，-λ，-

3

λ)，
∴b=-λ，c=

3

-

3

λ，E（0，-λ，

3

-

3

λ），A（1，0，0），

AE

=（-1，-λ，

3

-

3

λ），

AP

=（-1，0，

3

），

AB

=（-1，1，0），
設(shè)平面APB的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • AP =-x+ 3 z=0 n • AB =-x+y=0

，取x=

3

，得

n

=（

3

，

3

，1），
∵AE與平面PAB所成角的正切值等于

33

11

，
∴AE與平面PAB所成角的正弦值等于

3

14

，
∴|cos＜

AE

，

n

＞|=|

- 3 - 3 λ+ 3 - 3 λ

7 • 1+λ2+( 3 - 3 λ)2

|=

2 3 λ

7 × 1+λ2+( 3 - 3 λ)2

=

3

14

，
由0≤λ≤1，解得λ=

1

2

，
∴

PE

PC

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查線段比值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．