Question

1．已知函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{3^{-x}}（x≤0）}\\{\sqrt{x}（x＞0）}\end{array}}\right.$，若函數(shù)$g（x）=f（x）-\frac{1}{2}x-b$有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（　�。�

• A． 0＜b＜1
• B． 0＜b≤1
• C． $0＜b＜\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{2}＜b＜1$

Answer 1

分析 由題意可轉(zhuǎn)化為函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{3^{-x}}（x≤0）}\\{\sqrt{x}（x＞0）}\end{array}}\right.$函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+b的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，從而作圖求解即可．

解答 解：∵函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x-b有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{3^{-x}}（x≤0）}\\{\sqrt{x}（x＞0）}\end{array}}\right.$與函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+b的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，
作函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{3^{-x}}（x≤0）}\\{\sqrt{x}（x＞0）}\end{array}}\right.$與函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+b的圖象如下，

當(dāng)b=0時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，是一個(gè)臨界值，
當(dāng)直線y=$\frac{1}{2}$x+b與f（x）=$\sqrt{x}$相切時(shí)，
f′（x）=$\frac{1}{2}•\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2}$；
故切點(diǎn)為（1，1）；
故b=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；
結(jié)合圖象可得，0＜b＜$\frac{1}{2}$；
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)圖象的作法及函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用等，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．