3.已知在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,函數(shù)f(x)=cos($\frac{π}{2}$-x)cosx+$\sqrt{3}$sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值,并求出取得最大值時(shí)x的取值集合;
(2)若f(A)=$\sqrt{3}$(0<A<$\frac{π}{2}$),三角形的面積S=6$\sqrt{3}$,且b-c=1,求a的值.

分析 (1)已知利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得f(x)=$sin(2x-\frac{π}{3})+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,利用周期公式可求f(x)的最小正周期,利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求最大值及取得最大值時(shí)x的取值集合;
(2)由已知,可求$sin(2A-\frac{π}{3})=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,結(jié)合范圍$0<A<\frac{π}{2}$,可求A,利用三角形面積公式可求bc,結(jié)合b-c=1及余弦定理即可得解a的值.

解答 解:(1)由已知得:$f(x)=cos(\frac{π}{2}-x)cosx+\sqrt{3}{sin^2}x$=$\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}(1-cos2x)$=$sin(2x-\frac{π}{3})+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,
故f(x)的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π,
故當(dāng)2x-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$,即x的取值集合為{x|x=kπ+$\frac{5π}{12}$,k∈Z}時(shí),f(x)的最大值為1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
(2)由已知,因?yàn)?sin(2A-\frac{π}{3})=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,
又$0<A<\frac{π}{2}$,解得$A=\frac{π}{3}$.
由$S=\frac{1}{2}bcsinA=6\sqrt{3}$,得bc=24,
結(jié)合b-c=1及余弦定理知:a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=(b-c)2+bc=1+24=25,
可得:a=5.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,周期公式,正弦函數(shù)的性質(zhì),三角形面積公式,余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

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1.已知函數(shù)$f(x)=\left\{{\begin{array}{l}{{3^{-x}}(x≤0)}\\{\sqrt{x}(x>0)}\end{array}}\right.$,若函數(shù)$g(x)=f(x)-\frac{1}{2}x-b$有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是( 。
A.0<b<1B.0<b≤1C.$0<b<\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{2}<b<1$

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(Ⅰ)求點(diǎn)A,B,C,D的直角坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)P為C上任意一點(diǎn),求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范圍.

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5.已知函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)在區(qū)間[1,2]上的最大值與最小值之和為12,則實(shí)數(shù)a的值為( 。
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