Question

已知向量

a

=（cosθ，

2

sinθ），

b

=（sinθ，0），其中θ∈R．
（Ⅰ）當(dāng)θ=

π

3

時(shí)，求

a

•

b

的值；
（Ⅱ）當(dāng)θ∈[0，

π

2

]時(shí)，求（

a

+

b

）²的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和特殊角的三角函數(shù)值，即可計(jì)算得到；
（Ⅱ）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)，結(jié)合二倍角公式和兩角差的正弦公式，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到最大值．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)θ=

π

3

時(shí)，

a

=(

1

2

，

6

2

)，

b

=(

3

2

，0)，
∴

a

•

b

=

1

2

×

3

2

+

6

2

×0=

3

4

；
（Ⅱ）由題意得：(

a

+

b

)2=

a

2+2

a

•b

+

b

2
=cos2θ+(

2

sinθ)2+2(cosθ•sinθ+

2

sinθ•0)+sin2θ+02
=2cosθ•sinθ+2sin²θ+1=sin2θ+2-cos2θ=

2

sin(2θ-

π

4

)+2，
∵0≤θ≤

π

2

，∴-

π

4

≤2θ-

π

4

≤

3π

4

．
∴當(dāng)2θ-

π

4

=

π

2

即θ=

3π

8

時(shí)，
(

a

+

b

)2取得最大值，且為

2

+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和性質(zhì)，考查二倍角公式和兩角差的正弦公式的運(yùn)用，考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．