Question

求函數(shù)f（x）=-（

1

4

）^x+4(

1

2

)^x+5的值域及其單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)t=（

1

2

）^x，則t＞0，則函數(shù)t=（

1

2

）^x，為減函數(shù)，
則函數(shù)等價(jià)為y=g（t）=-t²+4t+5=-（t-2）²+9，
∵t＞0，∴y≤9，即函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，9]，
∵函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，2]，由=（

1

2

）^x≤2，解得x≥-2，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系可得此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
即函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（-∞，2]．
∵函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[2，+∞），由=（

1

2

）^x≥2，解得x≤-2，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系可得此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
即函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷以及函數(shù)值域的求解，利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．