Question

5．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，若$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），|$\overrightarrow{BC}$|=2，過(guò)點(diǎn)D（2，0）的直線l與圓O相切，則直線l的方程是x+$\sqrt{3}$y-2=0或x-$\sqrt{3}$y-2=0．

Answer 1

分析 由中點(diǎn)的向量表示形式可得O為BC的中點(diǎn)，且圓的半徑為1，設(shè)過(guò)D（2，0）的直線為y=k（x-2），運(yùn)用直線和圓相切的條件：d=r，由點(diǎn)到直線的距離公式，計(jì)算即可得到所求方程．

解答 解：若$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），可得
O，B，C三點(diǎn)共線，且O為BC的中點(diǎn)，
|$\overrightarrow{BC}$|=2，可得圓的半徑為1，
即圓O的方程為x²+y²=1，
設(shè)過(guò)D（2，0）的直線為y=k（x-2），
由直線和圓相切的條件，可得
$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即有切線的方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2）．
故答案為：x+$\sqrt{3}$y-2=0或x-$\sqrt{3}$y-2=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線方程的求法，注意運(yùn)用中點(diǎn)向量的表示和直線和圓相切的條件：d=r，考查點(diǎn)到直線的距離公式，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．