Question

已知點(diǎn)P（4，3）
（1）若過點(diǎn)P的直線l₁在坐標(biāo)軸上的截距相等，求l₁的方程；
（2）若過點(diǎn)P的直線l₂與原點(diǎn)的距離為4，求l₂的方程；
（3）若過點(diǎn)P的直線l₃的直線交x軸正半軸于A點(diǎn)，交y軸正半軸于B點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積最小時(shí)，求l₃的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求直線方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）分直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)設(shè)出直線方程，然后把點(diǎn)（4，3）代入直線方程，求出斜率后直線方程可求．
（2）直線已過一點(diǎn)，考慮斜率不存在時(shí)是否滿足條件，再利用待定系數(shù)法根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式建立等量關(guān)系，求出斜率；
（3）由題意可設(shè)直線l₃的方程為

x

a

+

y

b

=1，a＞0，b＞0．由于直線l₃過點(diǎn)P（4，3），代入直線方程得到

4

a

+

3

b

=1．利用基本不等式即可得出ab的最小值，取得最小值時(shí)a，b，即可得到直線l₃的方程．

解答： 解：（1）當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，斜率等于

3

4

，故直線的方程為y=

3

4

x，即3x-4y=0．
當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為x+y+m=0，把P（4，3）代入直線的方程得m=-7，
故求得的直線方程為x+y-7=0，
綜上，滿足條件的直線方程為3x-4y=0或x+y-7=0；
（2）過P點(diǎn)的直線l₂與原點(diǎn)距離為4，而P（4，3），可見，過P（4，3）垂直于x軸的直線滿足條件．
此時(shí)l₂的斜率不存在，其方程為x=4．
若斜率存在，設(shè)l₂的方程為y-3=k（x-4），即kx-y+4k-3=0．
由已知，過P點(diǎn)與原點(diǎn)距離為2，得

|4k-3|

k2+1

=4，解之得k=-

7

24

．
此時(shí)l₂的方程為7x+4y-100=0．
綜上，可得直線l₂的方程為x=4或7x+4y-100=0．
（3）由題意可設(shè)直線l₃的方程為

x

a

+

y

b

=1，a＞0，b＞0．
∵直線l₃過點(diǎn)P（4，3），
∴

4

a

+

3

b

=1．
∴

4

a

+

3

b

=1≥2

12 ab

，
∴ab≥48，當(dāng)且僅當(dāng)

4

a

=

3

b

，即a=2，b=6是取等號(hào)．
此時(shí)△AOB的面積取得最小值，l₃的方程為

x

2

+

y

6

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的方程，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．