Question

4．若實(shí)數(shù)x滿足x²-3x+2＜0，則$\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$，（$\frac{lnx}{x}$）²，$\frac{lnx}{x}$三者的大小關(guān)系是x∈$（1，\sqrt{e}）$時(shí)，$（\frac{lnx}{x}）^{2}$＜$\frac{lnx}{x}$$＜\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$；
$\sqrt{e}$＜x＜2時(shí)，$\frac{lnx}{x}$＞$\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$＞$（\frac{lnx}{x}）^{2}$．．

Answer 1

分析 實(shí)數(shù)x滿足x²-3x+2＜0，解得1＜x＜2．令f（x）=$\frac{lnx}{x}$，（1＜x＜4），則f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，可得函數(shù)f（x）在（1，e）上單調(diào)遞增，f（x）在（e，4）上單調(diào)遞減．進(jìn)而得出．

解答 解：實(shí)數(shù)x滿足x²-3x+2＜0，解得1＜x＜2．
令f（x）=$\frac{lnx}{x}$，（1＜x＜4），
則f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，可得函數(shù)f（x）在（1，e）上單調(diào)遞增，f（x）在（e，4）上單調(diào)遞減．
∴f（1）＜f（x）＜f（2），即0＜f（x）＜$\frac{ln2}{2}$＜1，∴0＜（$\frac{lnx}{x}$）²＜$\frac{lnx}{x}$．
由1＜x＜x²＜e，$（\frac{lnx}{x}）^{2}$＜$\frac{lnx}{x}$$＜\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$．
$\sqrt{e}$＜x＜x²＜4時(shí)，$\frac{lnx}{x}$＞$\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$＞$（\frac{lnx}{x}）^{2}$．
故答案為：1＜x＜$\sqrt{e}$，$（\frac{lnx}{x}）^{2}$＜$\frac{lnx}{x}$$＜\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$．$\sqrt{e}$＜x＜2時(shí)，$\frac{lnx}{x}$＞$\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$＞$（\frac{lnx}{x}）^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．