Question

函數(shù)f（x）=sinx+cosx+sinx•cosx的值域?yàn)椋ā　。?/div>

• A、[-1，1]
• B、[-1，

  2

  +

  1

  2

  ]
• C、[-1，

  2

  -

  1

  2

  ]
• D、[-1，

  2

  ]

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考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：首先采用換元法設(shè)sinx+cosx=t，利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，進(jìn)一步利用函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域．

解答： 解：設(shè)sinx+cosx=t（-

2

≤t≤

2

）
所以：sinxcosx=

t2-1

2

則：f（x）=sinx+cosx+sinx•cosx
=t+

t2-1

2

=

1

2

(t+1)2-1
當(dāng)t=

2

時(shí)，函數(shù)取最大值：f(x)max=f(

2

)=

2

+

1

2

當(dāng)t=-1時(shí)，函數(shù)取最小值：f（x）_min=f（-1）=-1
所以函數(shù)的值域?yàn)椋?span id="uc8oqw8" class="MathJye">[-1，

2

+

1

2

]
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變形，換元法的應(yīng)用，利用復(fù)合函數(shù)求函數(shù)的最值問題．屬于基礎(chǔ)題型．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：首先采用換元法設(shè)sinx+cosx=t，利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，進(jìn)一步利用函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域．

解答： 解：設(shè)sinx+cosx=t（-

2

≤t≤

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）
所以：sinxcosx=

t2-1

2

則：f（x）=sinx+cosx+sinx•cosx
=t+

t2-1

2

=

1

2

(t+1)2-1
當(dāng)t=

2

時(shí)，函數(shù)取最大值：f(x)max=f(

2

)=

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+

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當(dāng)t=-1時(shí)，函數(shù)取最小值：f（x）_min=f（-1）=-1
所以函數(shù)的值域?yàn)椋?span id="uc8oqw8" class="MathJye">[-1，

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故選：B．

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變形，換元法的應(yīng)用，利用復(fù)合函數(shù)求函數(shù)的最值問題．屬于基礎(chǔ)題型．