Question

18．如圖，已知長方形ABCD中，AB=2AD，M為DC的中點，將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求證：AD⊥BM；
（2）若$\overrightarrow{DE}$=2$\overrightarrow{EB}$，求二面角E-AM-D的正弦值．

Answer 1

分析 （1）先證明BM⊥AM，再利用平面ADM⊥平面ABCM，證明BM⊥平面ADM，從而可得AD⊥BM．
（2）建立直角坐標系，求出平面AMD、平面AME的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可得出二面角E-AM-D的正弦值．

解答 證明：（1）長方形ABCD中，設AB=2，AD=1，M為DC的中點
則AM=BM=$\sqrt{2}$，∴AM²+BM²=AB²，∴BM⊥AM
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM
∴BM⊥平面ADM
∵AD?平面ADM，∴AD⊥BM．
解：（2）建立如圖所示的直角坐標系，
∵$\overrightarrow{DE}$=2$\overrightarrow{EB}$，設AB=2，AD=1，
∴A（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），M（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），B（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$，0），D（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
則平面AMD的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
$\overrightarrow{ME}$=（$\frac{\sqrt{2}}{6}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{6}$），$\overrightarrow{AM}$=（-$\sqrt{2}$，0，0），
設AME的一個法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ME}=\frac{\sqrt{2}}{6}x+\frac{2\sqrt{2}}{3}y+\frac{\sqrt{2}}{6}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=-\sqrt{2}x=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，-4），
設二面角E-AM-D的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{17}}$，sinθ=$\sqrt{1-（\frac{1}{\sqrt{17}}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$，
∴二面角E-AM-D的正弦值為$\frac{4\sqrt{17}}{17}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．