Question

11．在四棱錐P-ABCD中，$∠DBA=\frac{π}{2}$，$AB\underline{\underline∥}CD$，△PAB和△PBD都是邊長為2的等邊三角形，設P在底面ABCD的射影為O．
（1）求證：O是AD中點；
（2）證明：BC⊥PB；
（3）求點A到面PBC的距離．

Answer 1

分析 （1）證明點O為△ABD的外心，利用△ABD是直角三角形，可得O是AD中點；
（2）由BC⊥PO，CB⊥BO得CB⊥面PBO，即可證明：BC⊥PB；
（3）由等體積法V_P-ABC=V_A-PBC，求點A到面PBC的距離．

解答 （1）證明：∵△PAB和△PBD都是等邊三角形，
∴PA=PB=PD，
又∵PO⊥底面ABCD，
∴OA=OB=OD，
則點O為△ABD的外心，又因為△ABD是直角三角形，
∴點O為AD中點．
（2）證明：由（1）知，點P在底面的射影為點O，
點O為AD中點，
于是PO⊥面ABCD，
∴BC⊥PO，
∵在Rt△ABD中，BD=BA，OB⊥AD，
∴$∠DBO=∠ODB=\frac{π}{4}$，
又$AB\underline{\underline∥}CD$，∴$∠CBD=\frac{π}{4}$，
從而$∠CBO=\frac{π}{2}$即CB⊥BO，
由BC⊥PO，CB⊥BO得CB⊥面PBO，
∴BC⊥PB．
（3）解：∵$AB\underline{\underline∥}CD$，
∴ABCD是平行四邊形，
在Rt△ABD中，∵AB=AC=2，∴$AD=2\sqrt{2}$，
由（2）知：PO⊥面ABCD，BC⊥PB，
由PB=2，$BO=\frac{1}{2}AD=\sqrt{2}$，
∴$PO=\sqrt{2}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}{S_{四邊形ABCD}}=2$，${S_{△PBC}}=\frac{1}{2}PB•BC=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2=2\sqrt{2}$．
設點A到面PBC的距離為h，由等體積法V_P-ABC=V_A-PBC，
∴$\frac{1}{3}{S_{△ABC}}×PO=\frac{1}{3}{S_{△PBC}}×h$，
∴$h=\frac{{{S_{△ABC}}×PO}}{{{S_{△PBC}}}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{{2\sqrt{2}}}=1$．
即點A到面PBC的距離為1．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質，考查等體積方法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．