Question

9．如圖，在四棱錐A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BCDE；
（Ⅱ）求二面角B-AD-E的大�。�

Answer 1

分析 （1）連接BD，由∠CDE=∠BED=90°，DE=BE=1，CD=2，可得BD=$\sqrt{2}$，∠BDE=45°，∠BDC=45°，利用余弦定理可得：BC²=2，利用AC²+BC²=AB²，可得AC⊥BC，利用面面垂直的性質定理可得AC⊥平面BCDE．
（2）以D為原點，分別以DE，DC為x，y軸的正半軸，與CA平行的直線為z軸，設平面ADE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DA}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$．設平面ABD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\end{array}\right.$，可得取$\overrightarrow{n}$，利用$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 （1）證明：連接BD，∵∠CDE=∠BED=90°，DE=BE=1，CD=2，∴BD=$\sqrt{D{E}^{2}+D{B}^{2}}$=$\sqrt{2}$，∠BDE=45°，
∴∠BDC=45°，∴BC²=${2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}$-$2×2×\sqrt{2}×cos4{5}^{°}$=2，
∴AC²+BC²=AB²=4，∴AC⊥BC，∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC，∴AC⊥平面BCDE．
（2）解：以D為原點，分別以DE，DC為x，y軸的正半軸，與CA平行的直線為z軸，如圖，D（0，0，0），E（1，0，0），A（0，2，$\sqrt{2}$），
B（1，1，0），$\overrightarrow{DA}$=（0，2，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{DE}$=（1，0，0）．
設平面ADE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DA}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2{y}_{1}+\sqrt{2}{z}_{1}=0}\\{{x}_{1}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=$（0，1，-\sqrt{2}）$．
設平面ABD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2{y}_{2}+\sqrt{2}{z}_{2}=0}\\{{x}_{2}+{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=$（1，-1，\sqrt{2}）$．
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-3}{2\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由圖可知：二面角B-AD-E的平面角為銳角，
∴二面角B-AD-E的大小為30^°．

點評 本題考查了空間位置關系空間角、法向量的應用、向量垂直與數量積的關系、勾股定理與逆定理、余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．