Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

3

=1的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過右焦點F₂的直線交雙曲線的右支于兩點A、B，且有|AF₁|+|BF₁|=2|AB|，若△ABF₁的周長為12，則雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  3

• C、

  5

• D、2

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：運用雙曲線的定義可得|AF₁|-|AF₂|=|BF₁|-|BF₂|=2a，可設|AF₂|=m，|BF₂|=n，則|AF₁|=2a+m，|BF₁|=2a+n，再由條件可得a=1，再由離心率公式計算即可得到．

解答： 解：由雙曲線的定義可得|AF₁|-|AF₂|=|BF₁|-|BF₂|=2a，
可設|AF₂|=m，|BF₂|=n，
則|AF₁|=2a+m，|BF₁|=2a+n，
|AB|=|AF₂|+|BF₂|=m+n，
由于|AF₁|+|BF₁|=2|AB|，
即有4a+|AB|=2|AB|，
則|AB|=4a，
由△ABF₁的周長為12，
則有|AF₁|+|BF₁|+|AB|=12，
3|AB|=12，
即12a=12，解得a=1．
則c=

a2+b2

=

1+3

=2，
則e=

c

a

=2．
故選D．

點評：本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查離心率的求法，考查運算能力，屬于基礎題和易錯題．