Question

9．在△ABC中，角A，B，C對的邊分別為a，b，c，且$\sqrt{3}$bcosA=asinB．
（1）求角A的大��；
（2）若a=$\sqrt{13}$，△ABC的面積為$\sqrt{3}$，求三角形△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）由$\sqrt{3}$bcosA=asinB，由正弦定理可得：$\sqrt{3}$sinBcosA-sinAsinB=0，化為$\sqrt{3}$cosA-sinA=0，因此tanA=$\sqrt{3}$，即可得出．
（2）由S_△ABC=$\frac{1}{2}bc$sinA=$\sqrt{3}$，可得bc=4．又a²=b²+c²-2bccosA，化簡整理即可得出．

解答 解：（1）∵$\sqrt{3}$bcosA=asinB，由正弦定理可得：$\sqrt{3}$sinBcosA-sinAsinB=0，
∵sinB＞0，∴$\sqrt{3}$cosA-sinA=0，
∴tanA=$\sqrt{3}$，又A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}bc$sinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=$\sqrt{3}$，∴bc=4．
又a²=b²+c²-2bccosA，即13=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，
把bc=4代入可得：b+c=5，又$a=\sqrt{13}$，
則△ABC的周長為5+$\sqrt{13}$．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理的應用、和差公式、三角形內角和定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．