Question

6．設(shè)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{1-{x^2}，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}}\right.$，若方程f（x）=kx-$\frac{1}{2}$恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A． $（\frac{1}{2}，\frac{1}{{\sqrt{e}}}$）
• B． （2，e）
• C． （$\sqrt{e}$，2）
• D． $（\frac{1}{2}，\sqrt{e}$）

Answer 1

分析 由題意，方程方程f（x）=kx-$\frac{1}{2}$恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于y=f（x）與y=kx-$\frac{1}{2}$有4個(gè)交點(diǎn)，求出直線y=kx-$\frac{1}{2}$過(guò)（1，0）時(shí)k的值及直線與y=lnx相切時(shí)k的值，即可求出k的取值范圍．

解答 解：由題意，直線y=kx-$\frac{1}{2}$過(guò)（1，0）時(shí)，k=$\frac{1}{2}$，
x＞1時(shí)，f（x）=lnx，f′（x）=$\frac{1}{x}$，
直線與y=lnx相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（a，lna），則切線方程為y-lna=$\frac{1}{a}$（x-1），即y=$\frac{1}{a}$x-1+lna，
令-1+lna=-$\frac{1}{2}$，則a=$\sqrt{e}$，∴k=$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{e}}$，
∴方程f（x）=kx-$\frac{1}{2}$恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，實(shí)數(shù)k的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{\sqrt{e}}$），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)結(jié)合圖象，以及函數(shù)與方程的關(guān)系，進(jìn)行解答，屬于中檔題．